《数学悖论与三次数学危机》序

该书于去年出版，近期将重印，重印时增加了著名数学家、中科院院士张景中先生为该书撰写的序言。现征得张先生同意，将这篇言简意丰的序文刊载于此。　――编者

这本《数学悖论与三次数学危机》，值得一读。它的特色是：史料脉络清晰，说理透彻明白，文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣，会启发读者进一步的思考，会给读者留下回味；特别使青少年读者受益。

将数学悖论和三次数学危机联系在一起来谈，确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。

通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是千锤百炼而成。

在这本书里，你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案。但这并不影响你阅读这本书，并且从中得到乐趣和智慧。事实上，对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2,在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。

例如，作者在前言中一开始就提到的有名的“说谎者悖论”，几年前经过我国数学家文兰的严密的分析论证，其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常代数中很普通，在布尔代数里也是要多少就有多少，每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以稀为贵”，要多少有多少，就不新鲜了。

一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。当然，研究悖论的逻辑学家或数学哲学家，可能不同意文兰的看法；这说明，同时代的学者对同一个问题是不是悖论，也会有截然不同的看法。进一步可以说，同一个人，今天他认为某个问题是悖论，也许明天就有了不同的看法。

但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫做数学危机，不知道是谁第一个说的。我向作者请教过，作者暂时还没有找到出处。不过，多数数学家看来，数学没有危机，也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有不同的看法。但既然有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。

我说这些，是希望读者看这本书的时候更多地思考。对书中引用的不少观点，你不妨多问几个为什么，和古人作一次假想的对话，提出自己独立的看法。如能这样，从这本书里得到的好处，可算是非常丰富了。

《数学悖论与三次数学危机》，韩雪涛著，湖南科学技术出版社　2007年4月第一版第二次印刷