本文试图从数学及其有关方面对西方和中国文化传统作一些比较，从而说明为了我国的现代化和民族的复兴，让数学融入我国文化传统的必要性和迫切性。
一
从历史上看，远在巴比伦、埃及时代，由于人类生活和劳动生产的需要积累了一系列算术和几何的知识。经过希腊时代，将这些比较零散的知识上升为理论的系统，欧几里德《原本》是其集大成的著作。西方在经过千年宗教统治以后，迎来文艺复兴。在数学方面，从阿拉伯移植过来并经东方数学渗透过的希腊数学，随后创立了解析几何，发明了微积分，使数学由常量数学发展到变量数学的新阶段。从17世纪到19世纪时期，人们以极大的热情将数学应用到很多领域（从运动学、力学一直到物理的各个方面），取得了重大的成就，积累了大量新的数学知识和方法，但是也出现了一些问题和错误。为了使成果可靠并且取得进一步发展的基础，人们在19世纪又建立起微积分的理论基础和严格体系。同时，由理论上探索欧几里德第五公设的证明而发现非欧几何，由五次以上方程求解问题的理论探索而发现伽罗华理论，进而为群论开了先河。这一系列数学理论进展催生了20世纪前期纯粹数学的大发展。数学理论得到空前发展，其中数学的形式主义和结构主义产生了广泛的影响，直至影响到基础数学教育的教学内容和方法。但是从20世纪后半期开始，尽管纯粹数学还在迅速地发展，数学又进入更加广泛、深入应用于科学、技术、经济、管理等众多领域的时代，数学与数学的应用在更高层次上结合，特别是在高新技术领域方面的进展层出不穷，甚至出乎人们的预料。展现出她对社会发展的巨大推动作用。
从以上简单概括的历史可以看出：
1、从宏观上看数学的发展，可以得到一种规律性的认识，即有一种“周期性”的否定之否定规律：大致上就是从实践中提出问题――解决问题――积累知识――形成有结构的算法，这是第一阶段；然后在这个基础上，找出基本出发点，形成逻辑的演绎体系，数学的理论与应用结合，这是第二阶段，二者合而为一个“周期”。从埃及、巴比伦时代到希腊末期的欧几里德体系的形成是这样一个周期。然后在此基础上，以更高级的方式，再进行类似的周期性的发展。西方从文艺复兴及随后的17、18世纪数学的广泛应用以及相应数学知识的积累（包括微积分、方程及几何等多方面），到19世纪微积分的严格化直至20世纪前半期纯粹数学的大发展，可以看成另一个更高级的周期。20世纪后半期以来，数学的更广泛、更深入的应用，似乎可以看成是一个更高级得多的周期的开始。数学从对科学、技术的深入、广泛的应用，直到近年来大量地在金融市场和管理方面应用。事实上，著名数学家柯朗在19世纪中期就已经预言：“在纯粹数学和具有活力的应用之间产生了这种不幸分离（可能在批判性的审查时期，这是不可避免的）之后，随之而来的应是一个紧密结合的时代。”我觉得对数学有周期性否定之否定规律的认识可以帮助我们认清数学发展，从而比较正确地确定努力方向。
上述这种周期的前一阶段，即从实际中提出问题、积累知识、形成算法的阶段，是数学的根本源头；但是没有理论体系的形成，进一步的发展便难于有良好的牢固基础。这里有两点应该引起注意：一是我们应该十分重视数学与实际的联系及其应用。著名的数学家、有计算机之父之称的冯・诺依曼早在20世纪中叶就说过下列一段话：“我想这是一相对地好的接近于真理――这是如此的复杂除了接近以外别无他法――数学思想来源于实践，虽然有些时候其渊源是悠久而且含糊的。但一旦如此的认为，这个学科便开始以本身特有的方式生存着，并比之几乎完全从美学的动机出发更好，比之任何其他事物，特别是比之一个经验的科学……更好。”在纯粹数学经过巨大发展、形式主义对数学有大量的影响之后，世界正在进入数学广泛应用的时代。当我们惊叹数学在科学、技术的广阔和奇妙应用的同时，她又已经更大量地进入了金融和管理。这个认识会帮助我们及时地调整数学研究和教学的部署。二是如果只注重从实际解决问题、积累知识、形成算法，而不能再对问题作更深层次的探讨，提出理论问题，形成逻辑体系，那也不能使数学及其应用向更高阶段发展，从而对社会发展起推动作用；同时对数学培养人才和数学教育也是不利的。针对我国的文化传统，在发展中应该特别警惕这一点。我国古代数学虽然有突出成就，有优良的算法传统，但是没有发展成近代数学，固然和统治阶级的不重视数学有重大关系；同时也和我国古代数学发展到一定阶段以后，没有抓住其中一些理论性的问题深入探讨，没有上升到逻辑体系，以至缺乏进一步发展的坚实基础有关。另一方面，由于没有形成逻辑体系，条理不很清晰，因而比较难于理解，比较难学。祖冲之的优秀著作《缀术》的失传，就是一个例证（史书说，该书在唐朝曾列为算学科目的教材，但到后来，“学官莫能究其深奥，是故废而不理”）。这些可以从与西方数学发展的比较中得到教益。
2、在数学的发展上，数学内部规律对其发展有重要的作用，但不能过分强调；同样在数学教育中，数学本身的计算、逻辑推理和理论体系应该重视。但不能只是注意数学内部，而不注意应用和相关联系。冯・诺依曼在上面所引述的话后，接着说：数学“有一个严重的危险，就是这个科学将沿着最小阻力的路线发展，远离源泉的主流将分散为许多不显眼的支流，这个科学将变为琐碎与繁杂的无序的堆积物”。柯朗也说过：“虽然希腊数学的理论化的倾向……曾经产生过巨大的影响。但是对这一点我们不能过分强调。因为在古代数学中，应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用”。由于种种历史原因，我国近代数学发展受公理化、形式主义的影响较大，在以往的数学教学中，只重视欧几里体系和数学内部知识学习、逻辑推理和基本技能，而忽视帮助学生理解数学的源头以及与现实的联系，忽视理解和学习数学的应用。其结果使学生学到的只是纯粹的数学知识，而不能意识到数学知识与日常生活和工作的紧密联系，从而也就不能大大提高生活和工作的质量。所以我们在数学和数学教育中需要注意这一点。
二
研究数学史对于理解和帮助数学学科的发展固然重要，但更重要的或许是通过数学史更深入地了解数学对社会发展的重要性；而且当人们对数学在社会发展中的作用有更清楚的认识之后，反过来会更好地促进数学本身的发展。然而数学对于社会及其成员（包括广大的工程技术人员甚至其他学科的科学家）的影响和对于数学专业人士来说是不同的。因此从数学对社会的贡献和数学教育的角度考虑，需要研究数学对社会的作用。从以上对数学历史的简单分析可以看出数学对社会发展的作用大致表现在以下三个方面：
1、数学的应用。数学从根本说来源于实际。她是描述自然现象和社会现象中的空间形式与数量关系的一种通用语言，从而数学有最广泛的应用性。她为人们日常生活、生产以及科学、技术、经济、管理、医药等诸多方面的工作提供方法和工具；为各种创新提供数学思想、模型和方法。近年来，数学和股市分析师彻底改变了金融分析。2006年，一个看来与数学似乎关系不大的美国《商业周刊》发表封面文章，谈论数学将震撼你的世界，谈论数学和计算机科学家联手正在努力挤进整个商业领域。有时数学还能够超前地抓住自然和社会发展过程的一些本质问题，帮助人类获得突破性的进展。例如，数学中的黎曼几何早在爱因斯坦发明相对论几十年以前，就为相对论准备了数学思想和方法。因此数学对社会的应用是多方面的、广泛的、深刻的，对社会发展起着普遍的、巨大的推动作用。
2、核心数学（或纯数学）的作用。数学一旦形成学科体系，一方面继续与有关实际背景互相交流和促进，另一方面则按照自身的规律发展。因此，她的成就是一个国家发展水平的重要标志。她对国家各方面的发展起着基础的作用；数学应用的水平有赖于数学本身的发展水平，更需要她的支持和运用。
3、数学为人类和社会提供了可靠的有效思维方式――归纳与演绎相结合的思维方式。归纳与演绎的思维方式本来是一般科学（不仅是自然科学）的思维方式，但是她在数学中具有最明确的形式，数学是她的最好的载体，而且可以说她是由数学研究而发生、发展的。数学的思维和素养也有利于人们形成遇事能从根本点出发进行有条理的分析思考，有助于形成实事求是、不人云亦云、不盲从、不迷信权威的作风。当然数学的思维方式应用于其他科学和社会问题还有一个迁移的过程。几千年来，人们在实践的各种层次上完成了这种迁移过程。在我们提倡素质教育的今天，应该通过数学教育帮助人们更自觉地完成。
前面的论述说明：我国和西方在文化传统的根本出发点、基本思维方式上是不同的。从希腊和西方的文化传统可以清楚看出：数学是关键点之一。而数学在我国固有的文化传统中是没有什么地位的，就是在现代，人们可能更多地还是将她看成是一门科学甚至工具。因此，为了我国的现代化和民族的振兴，急切需要在我国优秀文化传统的基础上，让数学融入中国文化传统。这是一项极端重要、伟大而又长期的艰巨任务。（作者单位：北京师范大学数学科学学院）
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