诺贝尔文学奖得主加西亚·马尔克斯在回答“应该从什么意义上理解《家长的没落》是一部自传性小说”时说：“我可以用一句话回答，只要一句话就够了：没有什么比名声的孤独更像权力的孤独了。”如果借用马尔克斯这番“夫子自道”，也不妨说，没有什么比数学的孤独更像思想的孤独了——即使数学和数学家今天正被闪烁不定的镁光和好莱坞影片环绕着。
数学的这种孤独似乎是与生俱来的。作为人类性灵最优雅的产物之一(另一种也许是音乐)，数学最本质的特征在于它的抽象性。虽然东西方早期的数学都是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿等“具体而微”的事件中萌芽的，但是，真正意义上的数学观念的瓜熟蒂落，却最终取决于人类理性能否从实有的风火炉中炼出抽象的金丹来。
其实，当数学家们只需挥动轻巧的鹅毛笔，就能在薄薄的稿纸上，像将军一样驱策着数字、线条与公式的千军万马的时候，他们的行为实际上也印证了数学这种最本质的特点。那就是，当我们面对纯粹数学的时候，我们事实上是可以完全摆脱特殊性的事例，甚至可以摆脱任何一类特殊的实有。换言之，数学家倾向于认为，任何实有如果具备满足某一纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一纯抽象条件的关系。这有些类似于宋代理学家领悟到的“月印万川”的道理：天地之间，月亮只有一个，但“千江水有千江月”；而同样，任何理性秩序都无法回避数学思想“大象无形”却又如影随形的观照。
不过，与哲学的抽象性引导人穷究天人之理、宗教的抽象性让人仰望星空稍有不同的是，数学的抽象性总是执拗地相信，只要有统一体存在的地方，它所牵涉的普遍条件之间，便存在着审美的关系。也就是说，在数学抽象性的斗篷下，还躲藏着美的精灵。而这种审美属性，更多地体现在“檐牙高啄，廊腰缦回”的数学模式所包含的逻辑谐和之中。因此，数学家也许比任何一类学者都更加坚信，事物在一起存在时，都是由理性的粘合剂拼接的。那么，任何一种事物所牵涉的逻辑谐和，必须排斥一切非谐和的东西而包含一切谐和的东西。而由数学开启的这种逻辑谐和真正成熟之时，也就标志着，逻辑谐和不仅是数学的独家专利，而将成为君临物理学、天文学乃至人类时空观之上的帝王。于是，在理性的分光镜下，自然世界与心灵世界深处最美丽的色调，得到了清晰的呈现。
可以说，由于纯粹数学的高度抽象性与审美性，所以，爱因斯坦说：“纯粹数学成为逻辑思想的诗篇。”
第一个真正意义上自由呼吸着数学的抽象性与审美性的人，应当是毕达哥拉斯。他是一个饶有情趣的古典嬉皮士组织——即毕达哥拉斯学派——的领导人。他们不喝酒，不穿毛皮制品，并且食素。他的学派将“万物皆为数”奉为圭臬，并以一种哲学家和教徒的虔诚，将研究数学作为净化灵魂的手段，将数字、图案与公式当成心中的十字、新月与菩提树。他们甚至根据对声学和行星轨道运行时间的数学知识，认为天空具有音乐的韵律，即所谓天球音乐。
不过，真正被厚厚薄薄的数学史记住的，是毕达哥拉斯以简洁的方式证明了勾股定理，惊异地发现了2开1／2次方根的结果是个无理数，这一发现同时也点燃了数学史上“第一次危机”的导火线。而最值得关注的是毕达哥拉斯在数学观念与方法论上开天辟地的功绩。那就是他赋予了数学演绎的特点。这种对推理中普遍性孜孜不倦地探求，不但拨动了数学的琴弦，也引起了人类早期哲学观念的共振。
之后的柏拉图准确地把握了从历史回音壁上传来的风雷激荡之声。他在雅典这个美丽的城邦中建立起了“柏拉图学园”，校门口高悬“不懂几何，禁止人内”。可以说，西方科学界尊重数学乃至尊重理性的传统，就是以这个学园为闪光的起点。柏拉图笃信数与几何是打开宇宙之谜的钥匙，因此，柏拉图的的哲学，被后人称为“数学的哲学”。
而柏拉图学派也成了毕达哥拉斯学派演绎逻辑方法的燃灯传薪者。他们系统整理零散数学知识的思想，不但直接影响了欧几里德《几何原本》的写作，更在知识上、方法上、思想上打开了后世数学家的视野。所以，哲学家怀特海(A．N．Whitehead)说：“对欧洲哲学传统最可靠的描述是，它是一连串对柏拉图的注解。”撇开这句话中令哲学家沮丧的一面看，也许正是数学蕴涵的这种无边的理性，打造了柏拉图思想的金刚不坏之身，使之成为后世众多思想家心悦诚服的不祧之祖。
而同时代的中国的数学思想的长卷，在《周髀算经》、十进制和“礼乐射御书数”的“六艺”中缓缓展开。与欧几里德的《几何原本》对西方数学传统的影响相呼应的是，成书于公元一世纪的《九章算术》，对于中国古代数学传统的形成同样起到了奠基石的作用。但是，从宏观上看，中国古代的数学思想，更多地沉溺在实际问题的解答技巧之中，而极少见到西方数学思想中包孕的那种超验传统和终极关怀意识。因此，在如何自觉地将数学与哲学观念的发展结合起来上，中国古代的数学思想显得力不从心、乏善可陈。所以，尽管祖冲之率先将圆周率推到了小数点后第七位，“杨辉三角形”把西方“帕斯卡三角形”抛在身后达四百年，朱世杰娴熟地运用“四元术”求解四元方程，但是，这些光环并不能掩饰中国数学家通过计数、度量、几何关系与秩序形态，把数学观念与自然界联系起来的能力的缺乏。因此，在中国的数学家那里，理性的思维似乎无法脱离那种牵涉到一定种与属的不完整的抽象境界，登堂人室进入完整的数学抽象领域。所以，在宋元数学辉煌的一页翻过以后，中国的数学思想似乎陷入了笨拙的泥淖之中。
就在中国古代数学沉沦的时候，崎岖而行的西方科学却赢来了新的发展空间。这一重大转折发生在1453年。这是明朝景泰四年，用历史学家黄仁宇形容万历十五年的话说，似乎同样属于“A Year of N。Significance”(无关紧要的一年)。但在西方，就在这一年，幕天席地的土耳其骑兵，挥动马刀，攻占并洗劫了东罗马(拜占廷)帝国的首都君士坦丁堡(伊斯坦布尔)。于是，大批东罗马帝国的知识分子携带着古希腊的文化典籍负笈西行，在客观上为欧洲文艺复兴、工业革命和宗教改革准备了火种。原先罗马共和国秉承的是希腊语文化，后来西罗马帝国改弦更张为拉丁语文化。在西罗马帝国丧钟敲响后，希腊文化却又一次回到西方，同时还带来了阿拉伯语文化与希伯来文化。地中海区域的欧亚非大陆的结合部，重新成为不同文化的竞技场。
而数学作为科学的源泉，作为文化思想的缩影，无疑见证了这一因东西文化碰撞，引起“惊涛裂岸，卷起千堆雪”的壮阔画面。这一时期，欧洲人普遍应用了阿拉伯人的记数法与代数学。而现代高等数学公式中的希腊字母、拉丁字母、阿拉伯字母合用，也鲜明地折射出政治地图变迁对文化版图重组的不可忽略的影响。这也许是1543年西罗马帝国灭亡的意义之一。
如果说，从毕达哥拉斯、柏拉图直至进入现代世界的十七世纪前，数学的观念还没有跳出亚里士多德描绘的思维框架，那么，在天才的十七世纪里，伽利略、笛卡儿、斯宾诺莎、牛顿、莱布尼兹——这些声名显赫的人物，似乎是不约而同地，在盛大的数学酒会上举起了高脚杯。解析几何、微积分从费马、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹们高速运转的大脑中脱颖而出。在这个世纪里，数学的抽象性、普遍性与和谐性，绽放了茂盛的理论之花。它似乎是先声夺人地对哲学观念的形成和其他学科的纵深挺进，产生了巨大而深远的影响。虽然这以前很长一段时间，数学家的理性像欧洲灰蒙蒙的天空一样，还只是教堂傲慢尖顶的忠实陪衬，但到了十七世纪，可以说，数学家的心中已经无一例外地涌动着一种“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的情感。
十七世纪数学的伟大成就，为后世数学的辉煌铺平下了一条金光大道。之后，数学理论、数学分支、数学观念，像斐波那契数列揭示的兔子繁殖速度一样，不绝如缕地涌现。由于数学与哲学的联姻，数学也成为人类头脑所能达到的最完美的抽象境界。1899年，希尔伯特改进了公理方法。他认为：“点、线、面可以换成桌子、椅子、啤酒杯。”1900年，他在国际数学家大会上提出了23个问题，揭开了二十世纪数学发展的序幕。哲学家罗素则以著名的“理发师悖论”，引发了数学基础的危机，形成了逻辑主义、直觉主义与形式主义三大学派。哥德尔不完全性定理的提出，对数学的完备性提出了挑战。而建立在数学基础上的计算机的问世，托起了新一轮技术革命的太阳。使得统治世界数百年的蒸汽机与电器时代从此成为远去的背影。
仔细反思数学发展的千年历程，的确让人回味无穷。如果说，古典数学还只是浸淫于宗教热忱的浪潮中，为奥秘的事物寻找某种神启与暗示的话，那么它同时也唤醒了从事物内部探求其终极意义的理性思想。这两种方法看似背道而驰，但它们最大的意义是重建了人类的好奇心，使得人们愿意对终极的概念探赜索隐，洞幽烛微。而这一切，只有在一个宽容自由、思想开放的时代里，才能最大程度地得到实现——比如希腊的雅典、文艺复兴时期的意大利，当然还有春秋时期与唐宋时代的中国。
相反的例子是，当中国古代的专制社会不但自我封闭、禁锢思想，而且将灰色的长城压在众多穷究天人之理的学者的心头时，短暂的数学灵光之中终于没能升起科学的太阳。也许，这可以作为对李约瑟在《中国科学技术史》中不止一次提到的问题——为什么中国科技本来胜于欧洲，但在十五世纪后就不如欧洲了呢——的一种回答吧。
记得物理学家霍金曾用“果壳中的宇宙”(The Universe in a Nutshell)为他的新作命名。这个典故出自莎士比亚的名剧《哈姆雷特》。在剧中，这位忧郁的王子说，即使把他关在果壳里，仍然自以为是宇宙之王。而哲学家怀特海在《科学与近代世界》中也说，编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学观念，就等于是在《哈姆雷特》这一剧本中去掉了哈姆雷特这一角色。其实哈姆雷特这种独步天下的感觉，移植到数学身上，同样贴切。果壳中的哈姆雷特与果壳中的数学和宇宙一样，既张扬了理性的力量，也暗示了理性的局限和对超验世界的无能为力。也就是说，对于浩瀚的人类思想而言，理性需要新的跃迁与超越。这一内在的紧张被法国作家雨果窥破了：“科学到了最后，就遇上了想象。在圆锥曲线中、在对数中、在概率计算中、在微积分计算中、在声波计算中、在运用于几何的代数中，想象都是计算的系数，于是数学也就成了诗。”
于是，我们终于可以说，数学的全部抽象性与审美性所提供的，正是一种建立在完美的假定之上的乌托邦。它超越了一切政治与宗教、国界与肤色。冰冷的铁窗与专制社会的判决书，’都无法阻挡自由的思想通往林中空地上的那个美丽新世界。就像罗马士兵的刀锋，无法阻挡阿基米德临终前高贵的沉思一样。这也许是数学——以及一切与自由思想有关的东西一一本身所能揭示的全部寓意，尽管这种寓意“只有生活在有限和自由的刀口上的人才会理解”(丹尼尔·贝尔语)。
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